群の定義

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群の定義

集合 $G$ がある演算 $\circ$ について以下の性質を満たすとき、$G$ を演算 $\circ$ についての 群 という。

群の定義

• 閉性：任意の元 $a,b\in G$ について、$(a\circ b)\in G$
• 結合律：任意の元 $a,b,c\in G$ について、つねに $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• 単位元の存在：任意の $a\in G$ に対して $a\circ e=e\circ a=a$ であるような単位元 $e\in G$ が存在する
• 逆元の存在：任意の $a\in G$ に対して $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$ であるような逆元 $a^{-1}\in G$ が存在する

単位元の唯性と逆元の一意性

単位元の唯性

単位元 $e\in G$ は $G$ に唯一つである。

ともに単位元となる $e,f\in G$ をとると、

$$e\circ f=f\circ e=e$$
$$f\circ e=e\circ f=f$$

であるので、$e=f$ である。したがって単位元は $G$ に唯一つである。

逆元の一意性

任意の元 $a\in G$ に対応する逆元 $a^{-1}\in G$ は一意に定まる。

$a\circ b=b\circ a=e$ をみたすような逆元 $b\in G$ に対し、任意に $a\circ c=c\circ a=e$ であるような $c\in G$ をとり、これを左からかけると

$$c\circ (a\circ b)=c\circ e=c$$

ここで結合律から $c\circ (a\circ b)=(c\circ a)\circ b=e\circ b=b$ であるので、$b=c$。よって任意の元 $a\in G$ に対応する逆元は一意に定まる。

可換群

可換群（アーベル群）

群 $G$ の任意の元 $a,b\in G$ について交換法則 $a\circ b=b\circ a$ が成り立つとき、$G$ を 可換群（アーベル群） という。

群の例

$(\mathbb{Z},+)$ は可換群である：単位元は $0$、任意の $a\in \mathbb{Z}$ に対応する逆元は $(-a)\in \mathbb{Z}$ である。

$n$ 次正則行列の全体 $G{L}_n(\mathbb{C})$ は行列の積について群である：$G{L}_n(\mathbb{C})$ を $n$ 次一般線形群といい、任意の $A,B\in G{L}_n(\mathbb{C})$ の積については一般に $AB\ne BA$ であるため可換でない。

$(\mathbb{R},\times )$ は群でない：任意の $a\in \mathbb{R}$ について $0\times a=a\times 0=0\ne 1$ であるため、$0\in \mathbb{R}$ は一意な逆元をもたない。

同値

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同値関係

集合 $S$ の元 $a,b\in S$ の間に関係 $a\sim b$ があるとき、特に以下を満足する関係 $\sim$ を 同値関係 という。

同値関係

• 反射律：$a\sim a$
• 対称律：$a\sim b⟹b\sim a$
• 推移律：$a\sim b,b\sim c⟹a\sim c$

同値類

同値類

集合 $S$ 上の同値関係 $\sim$ を定義するとき、$a\in S$ に対し、集合：
$$C_a:=\{b\in S|a\sim b\}$$
を $a$ を 代表元 とする $a$ の 同値類 という。

商集合

商集合

$a\in S$ の同値類 $C_a$ を集めた集合：
$$S/\sim :=\{C_a|a\in S\}=\{C_{a_1},C_{a_2},\dots \}$$
を $S$ の同値関係 $\sim$ による 商集合 という。

参考

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書籍

『群・環・体　入門』新妻弘、木村哲三 著（共立出版、1999）

動画（ヨビノリ）