正規部分群と剰余群

---

正規部分群

正規部分群

すべての $a\in G$ について $aN=Na$ であるような部分群 $N\le G$ を 正規部分群 といい、$N⊴G$ で表す。

可換群の部分群

可換群の部分群はすべて正規部分群である。

剰余群

剰余群

$N⊴G$、任意の $a,b\in G$ に対し、剰余類 $aN,bN$ の積 $\ast$ を
$$aN\ast bN=abN$$
で定義する。このとき、
$$G/N:=\{eN,aN,bN,\dots \}$$
は剰余類を元にもち、演算 $\ast$ について群である。これを $G$ の正規部分群 $N$ に関する 剰余群 という。

以下では $G/N$ が演算 $\ast$ について群であることを示す。

• 閉性：演算の定義から明らか。
• 結合律：$a,b,c\in G$ をとると $(aN\ast bN)\ast cN=abN\ast cN=abcN=aN\ast bcN=aN\ast (bN\ast cN)$
• 単位元の存在：$e\in G$ を $G$ の単位元とするとき、$aN\ast eN=aN$ より $eN$ は単位元となる。
• 逆元の存在：$a\in G$ の $G$ における逆元を $a^{-1}$ とするとき、$aN\ast a^{-1}N=eN$ より $a^{-1}N$ は $aN$ の逆元となる。

可換群とその部分群からなる剰余群

$G$ が可換群ならば、$N⊴G$ による剰余群 $G/N$ も可換群である。

正規部分群の判定定理

正規部分群の判定定理

$$H⊴G⟺\forall a\in G,aH=Ha⟺\forall h\in H\le G,\forall a\in G,ah{a}^{-1}\in H$$

必要条件は、$a\in G,aH=Ha$ より $ah=h^{\prime }a$ なる $h,h^{\prime }\in H$ があって、$a^{-1}\in G$ を右から作用させれば $ah{a}^{-1}=h^{\prime }\in H$ を満たす。

十分条件は、$ah{a}^{-1}=h^{\prime }\in H$ より、まったく逆に $a\in G$ を右から作用させて $ah=h^{\prime }a$、よって $aH=Ha$。

参考

---

書籍

『群・環・体　入門』新妻弘、木村哲三 著（共立出版、1999）

動画（ヨビノリ）