部分群
定義
部分群群 の部分集合 が の演算 について群をなすとき、 を の 部分群 といい、これを とかく。
以降では二項演算 を省略して表記する。
単位元・逆元の一致性
部分群の単位元を の単位元とするとき、部分群 において は単位元である。
とするとき、 の単位元を 、 の単位元を とする。このとき、 の逆元 をとると、
であるから、
部分群の逆元の での逆元は、 の における逆元 に一致する。
を考えるとき、その における逆元を 、 における逆元を 、単位元を とする。
部分群の判定定理
部分群の判定定理群 の空でない部分集合 に対し、
必要条件は部分群の定義より自明である。十分条件について、任意の に対し
- 単位元の存在：
- 逆元の存在：
が成り立っている。ここで が示されたから、任意の に対し、
- 閉性：
も成り立つ。 において結合律が成り立つことはその閉性と が結合律を満たすことから明らかである。よって は の演算について群であり、任意の に対して であれば である。
部分群による群の類別
剰余類
剰余類、 に対し、 であれば は同値である。このとき、 の同値類 を の による 左剰余類 といい、同様に であれば の同値類 を の による 右剰余類 という。
、任意に 、 をとる。このとき、 をみたす があって、
という同値類を考えることができる。これを左剰余類という。同様に、 をみたす があって、
という同値類を考えることができる。これを右剰余類という。
が可換群であれば左剰余類と右剰余類は一致し、まとめて剰余類とよぶ。
剰余類の表現以下では、群 の部分群 と に対し、部分集合：
と定義する。
同値性の証明
以下では 、 であるならば関係 は同値関係であることを示す。
- 反射律：、よって
- 対称律：、 であるので 、よって
- 推移律：、 であるので 、よって
剰余類の位数
剰余類の位数集合 の要素数を と記し、これを の位数という。このとき、
写像 を考えると、これは明らかに全射となる。さらに任意の をとると、その左剰余類の任意の元 をとることができて（ はラベル）、関係 を仮定するとき、逆元 を左から作用させると 、よって は単射でもある。したがって は全単射であるので、。任意の代表元を選んでも同様であるので、 について である。
類別・同値関係による商集合
群の類別
を の部分群 による 左類別 といい、
を の部分群 による 右類別 という。
同値関係による商集合の部分群 による（左右）剰余類を集めた集合：
を商集合として定義できる。
参考
書籍
『群・環・体 入門』新妻弘、木村哲三 著（共立出版、1999）
動画（ヨビノリ）
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