準同型写像

定義

準同型写像
$(G, \circ), (G^{'}, *)$ を群とし、写像 $f : G \to G^{'}$ を考える。このとき、任意の $x, y \in G$ について
$f (x \circ y) = f (x) * f (y)$
をみたす写像 $f$ を 準同型写像 という。

同型写像
全単射な準同型写像をとくに 同型写像 という。このとき、同型写像の始域 $G$ と終域 $G^{'}$ は同型であるといい、これを $G ≅ G^{'}$ とかく。

単位元・逆元に関する性質

単位元と準同型写像
$e \in G$ を $G$ の単位元、 $e^{'} \in G^{'}$ を $G^{'}$ の単位元とするとき、 $f (e) = e^{'}$

$f$ は準同型写像であるから、 $f (e) = f (e \circ e) = f (e) * f (e)$ より、両辺に $f (e)^{- 1} \in G^{'}$ をかけて $e^{'} = f (e)$

逆元と準同型写像
$x \in G$ の $G$ における逆元を $x^{- 1} \in G$ とするとき、 $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$

$f$ は準同型写像であるから、 $e^{'} = f (e) = f (x \circ x^{- 1}) = f (x) * f (x^{- 1})$ 、両辺に $f (x)^{- 1} \in G^{'}$ をかけて $f (x)^{- 1} = f (x^{- 1})$

像と核

定義

像と核
群 $(G, \circ), (G^{'}, *)$ と準同型写像 $f : G \to G^{'}$ を考える。また、 $e^{'} \in G^{'}$ を $G^{'}$ の単位元とする。このとき、
$Ker f := {x \in G ∣ f (x) = e^{'}} \subset G$
を $f$ の 核（カーネル） といい、
$Im f := {f (x) \in G^{'} ∣ x \in G} \subset G^{'}$
を $f$ の 像（イメージ） という。

像と核の性質

核と部分群
$Ker f ⊴ G$

$\forall a, b \in Ker f$ をとるとき、

$f (a^{- 1} \circ b) = f (a)^{- 1} * f (b)$

ここで $a, b \in Ker f$ より $f (a), f (b)$ はともに $e^{'}$ であるので、

$f (a)^{- 1} * f (b) = e^{' - 1} * e^{'} = e^{'}$

よって、部分群の判定定理から $Ker f \leq G$ である。さらに、 $a \in Ker f$ と $x \in G$ をとる。このとき、

$f (x \circ a \circ x^{- 1}) = f (x) * f (a) * f (x)^{- 1}$

ここで $a \in Ker f$ より $f (a) = e^{'}$ 、よって

$f (x) * f (a) * f (x)^{- 1} = f (x) * e^{'} * f (x)^{- 1} = f (x) * f (x)^{- 1} = e^{'}$

よって、正規部分群の判定定理から $Ker f ⊴ G$ である。

像と部分群
$Im f \leq G^{'}$

$\forall f (a), f (b) \in Im f$ をとるとき、

$f (a)^{- 1} * f (b) = f (a^{- 1} \circ b)$

$a^{- 1} \circ b \in G$ より $f (a^{- 1} \circ b) \in Im f$ であるから、部分群の判定定理より $Im f \leq G^{'}$ である。

準同型定理

準同型定理
群 $(G, \circ), (G^{'}, *)$ と準同型写像 $f : G \to G^{'}$ について、
$G / Ker f ≅ Im f$

特別な場合
$f$ が全射準同型写像であれば、 $G / Ker f ≅ G^{'}$

準同型定理の証明