参考サイト

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統計学の時間 | 統計WEB

正規分布

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平均 $\mu$，分散 ${\sigma }^2$ の正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ にしたがう確率変数を $X$ とします．

確率密度関数

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left[-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right]$$

期待値と分散

$$E[X]=\mu$$

$$V[X]={\sigma }^2$$

再生性

$X\sim N({\mu }_x,{{\sigma }_x}^2)$，$Y\sim N({\mu }_y,{{\sigma }_y}^2)$ であるような独立な確率変数 $X,Y$ に対し，

$$X\pm Y\sim N({\mu }_x\pm {\mu }_y,{{\sigma }_x}^2+{{\sigma }_y}^2)$$

を満たします．

正規化

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ であるとき，標準化した確率変数 $Z$ について以下が成り立ちます：

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$$

標本平均の分布

互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ にしたがう確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ に対し，平均：

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

を定めると，

$$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$

が成り立ちます．

中心極限定理

平均 $\mu$，分散 ${\sigma }^2$ の母集団に互いに独立にしたがう確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ に対し，平均：

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

を定めると，$n$ が十分大きいときは近似的に

$$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$

が成り立ちます．

二項分布

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成功確率が $p$ であるようなベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返すとき，成功回数 $X$ は二項分布にしたがいます（ $X\sim B(n,p)$ ）．

確率分布

$n$ 回の試行のうち $x$ 回成功する確率は，

$$P(X=x)={}_n{\mathrm{C}}_x{p}^x(1-p{)}^{n-x}$$

期待値と分散

$$E[X]=np$$

$$V[X]=np(1-p)$$

正規近似

$np$ が十分大きい場合には，近似的に

$$X\sim N(np,np(1-p))$$

が成り立ちます．正規化すると，

$$\frac{X/n-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\sim N(0,1)$$

となります．$p$ はある2つの排反事象に分類される母集団の要素のうち，一方の事象をとる要素の割合（母比率）で，$\hat{p}=X/n$ はその標本統計量（標本比率）です．

ポアソン分布

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平均して $\lambda$ 回起きるとされる事象が，ある期間に $X$ 回起きるとしたとき，$X$ はポアソン分布に従います（ $X\sim Po(\lambda )$ ）．

確率分布

ある期間に事象が $x$ 回起きる確率は，

$$P(X=x)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}$$

期待値と分散

$$E[X]=\lambda$$

$$V[X]=\lambda$$

幾何分布

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成功確率が $p$ であるようなベルヌーイ試行が初めて成功するまでの回数を $X$ とするとき，$X$ は幾何分布に従います（ $X\sim Geo(p)$ ）．

確率分布

成功するまでの試行回数が $x$ 回である確率は，

$$P(X=x)=p(1-p{)}^{x-1}$$

期待値と分散

$$E[X]=\frac{1}{p}$$

$$V[X]=\frac{1-p}{p^2}$$

連続一様分布

連続確率変数 $X$ が任意の範囲 $a\le X\le b$ で一様な確率密度を持つとき，$X$ は連続一様分布にしたがいます．

確率密度関数

$$f(x)=\frac{1}{b-a}$$

期待値と分散

$$E[X]=\frac{a+b}{2}$$

$$V[X]=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

カイ2乗分布

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互いに独立に標準正規分布に従う確率変数 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ に対し，2乗和：

$$W=\sum _{i=1}^n{Z_i}^2$$

を定めるとき，

$$W\sim {\chi }^2(n)$$

です．ここで ${\chi }^2(n)$ は自由度 $n$ のカイ2乗分布です．

再生性

$X\sim {\chi }^2(m)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$ であるような独立な確率変数 $X,Y$ に対し，

$$X+Y\sim {\chi }^2(m+n)$$

が成り立ちます．

標本統計量との関係

互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ にしたがう確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ に対し，

$$\sum _{i=1}^n\frac{(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n)$$

です．ここで母平均 $\mu$ を標本平均 $\bar{X}$：

$$\bar{X}=\sum _{i=1}^n{X}_i$$

とすると，

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^n\frac{(X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}=\frac{(n-1)U^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

が成り立ちます．ここで $U^2$ は不偏分散：

$$U^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$

です．

t 分布

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互いに独立に標準正規分布に従う確率変数 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ に対し，自由度 $n$ のカイ2乗分布にしたがう2乗和：

$$W=\sum _{i=1}^n{Z_i}^2\sim {\chi }^2(n)$$

を定めます．一方で，$Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ とは独立に標準正規分布にしたがう確率変数 $Z$ があるとき，

$$T=\frac{Z}{\sqrt{W/n}}\sim t(n)$$

です．ここで $t(n)$ は自由度 $n$ のt 分布です．

標本統計量との関係

互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ にしたがう確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ に対し，標本平均 $\bar{X}$ および不偏分散 $U^2$：

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

$$U^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$

を定めるとき，

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{U^2/n}}\sim t(n-1)$$

が成り立ちます．

F 分布

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$X\sim {\chi }^2(m)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$ であるような独立な確率変数 $X,Y$ に対し，

$$F=\frac{X/m}{Y/n}$$

を定めるとき，

$$F\sim F(m,n)$$

です．ここで $F(m,n)$ は自由度 $(m,n)$ のF 分布です．

標本統計量との関係

独立な母集団 $X\sim N({\mu }_x,{{\sigma }_x}^2)$，$Y\sim N({\mu }_y,{{\sigma }_y}^2)$ からそれぞれサイズ $m,n$ の標本を抽出したとき，その標本平均および不偏分散を

$$\bar{X}=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m{X}_i$$

$$\bar{Y}=\frac{1}{n-1}\sum _{j=1}^n{Y}_j$$

$${U_x}^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m(X_i-\bar{X}{)}^2$$

$${U_y}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{j=1}^m(Y_j-\bar{Y}{)}^2$$

とします．このとき，

$$F=\frac{{U_x}^2/{{\sigma }_x}^2}{{U_y}^2/{{\sigma }_y}^2}\sim F(m-1,n-1)$$

が成り立ちます．

t 分布との関係

$t$ 分布にしたがう $T$ 統計量の2乗は，

$$T^2=\frac{Z^2/1}{W/n}$$

です．$Z^2\sim {\chi }^2(1)$，$W\sim {\chi }^2(n)$ ですから，自由度 $(1,n)$ のF 分布 $F(1,n)$ は，自由度 $n$ のt 分布と以下の関係にあります：

$$F(1,n)=[t(n){]}^2$$