母平均の検定とは

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平均 $\mu$，分散 ${\sigma }^2$ をもつ母集団 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ から，互いに独立な標本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ を取り出し，その平均として標本平均 $\bar{X}$，不偏分散 $U^2$ を次のように求めます：

$$\bar{X}=\sum _{i=1}^n{X}_i$$

$$U^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$

このとき，次のように構成した確率変数 $T$ は，自由度 $n-1$ の $t$ 分布に従います：

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{U^2/n}}\sim t(n-1)$$

標本平均，不偏分散の実現値（観測値）を $\bar{x},u^2$，検証したい帰無仮説 $H_0:\mu ={\mu }_0$ とすると，確率変数 $T$ の実現値 $t$ は，

$$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sqrt{u^2/n}}$$

となります．この $t$ と適当な有意水準のもとでの $t(n-1)$ のパーセント点とを比較することで母平均 $\mu$ についての帰無仮説 $H_0$ を検定することができます．

母集団分布の仮定

$T$ が $t$ 分布に従うのは，母集団分布が正規分布であるときのみです．もし母集団分布が正規分布でない場合には，中心極限定理から $$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2/n}}\sim N(0,1)$$ が十分大きい $n$ について成り立つことを利用します．ここで ${\sigma }^2$ は母分散ですが，標本の不偏分散 $U^2$ は ${\sigma }^2$ の一致推定量であるので，代用することもできます．

Rによる母平均の検定

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例題

次の表は，あるクラスの生徒5人の試験の得点です．

生徒	A	B	C	D	E
得点	72	64	68	80	72

この試験のクラスでの得点平均は74点であったとするとき，この5人の特定平均はクラスの平均と異なるかどうかを検定します．

統計量の用意

mean 関数で標本平均，sd 関数で不偏分散の平方根（サンプルの標準偏差）を計算できます．RStudioのコンソールに値を登録していきます。

Rの分散関数

Rの sd 関数で返却されるのは標本分散の偏差：
$$S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
ではなく、不偏分散の偏差：
$$U=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
であることに注意が必要です。

標本サイズは length 関数で取得します．

> samples <- c(72, 64, 68, 80, 72)
> xbar <- mean(samples)
> std <- sd(samples)
> mu <- 74
> size <- length(samples)

> xbar
# [1] 71.2
> std
# [1] 5.932959
> size
# [1] 5

t値を計算

$t$ 値を構成します．平方根は sqrt 関数で出します．

> t <- ( xbar - mu ) / ( std / sqrt(size) )
> t
# [1] -1.05529

検定を行う

今回は有意水準 $\alpha =0.05$ で検定することにします．帰無仮説と対立仮説はそれぞれ，

$$H_0:\mu =74$$

$$H_1:\mu \ne 74$$

ですから，両側検定となります．したがって，自由度 $5-1=4$ の$t$分布の上側 2.5% 点を求めることになります．

> -qt(0.025, df=4)
# [1] 2.776445

$t$ 分布は左右対称ですから，

$$t_{0.025}(4)=-2.776445<t=-1.05529$$

より，有意水準 5% で帰無仮説 $H_0$ を棄却しません．よって，結論は「5人のスコアの平均はクラス平均と異なるとは言えない」となります．